Векторы в пространстве примеры решения. II.6. Векторы в пространстве и действия над ними. §2.Линейные операции над векторами

24.07.2020

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый - классический - требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод - применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили - то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Содержание статьи

Система координат в пространстве
Плоскость в пространстве задается уравнением:
§2.Линейные операции над векторами.
I. Сложение векторов.
Пример.
Определение. Любой вектор вида = называется линейной комбинацией векторов . Числа - коэффициентами линейной комбинации.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами - координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z :

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости - из координаты конца вычитаем координату начала.

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Сумма векторов:

Разность векторов:

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точки E и K - середины ребер соответственно A 1 B 1 и B 1 C 1 . Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб - значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK - скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K - середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E - середина SB, а K - середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, точка D - середина ребра A 1 B 1 . Найдите косинус угла между прямыми AD и BC 1

Пусть точка A - начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D - середина A 1 B 1 . Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C - координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Для точки M:

То есть A + C + D = 0.

Для точки N:

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое - вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор - это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения - чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точки E и F - середины ребер соответственно A 1 B 1 и A 1 D 1 . Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD 1 .

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD 1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD 1 .

Сначала - нормаль к плоскости BDD 1 . Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D 1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее - увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD 1 - это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Упростим систему:

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA 1 B 1 C 1 D 1 - прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA 1 D 1 D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B 1 D, если расстояние между прямыми A 1 C 1 и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства - как это делается в «классике»:-)

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать "параллелепипед".

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота - вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A 1 C 1 и BD равно √3». Прямые A 1 C 1 и BD скрещиваются. Одна из них - диагональ верхнего основания, другая - диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A 1 C 1 и BD - это, очевидно, OO 1 , где O - точка пересечения диагоналей нижнего основания, O 1 - точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO 1 и равен высоте параллелепипеда.

Итак, AA 1 = √3

Плоскость AA 1 D 1 D - это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней - это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B 1 D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B 1 D - значит, B 1 D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B 1 и D известны:

Координаты вектора - тоже.

В этой статье мы дадим определение вектора с точки зрения геометрии, а также основные сопутствующие понятия. На плоскости и в пространстве вектор является полноценным геометрическим объектом, то есть, имеет вполне реальные очертания, которые Вы увидите на приведенных графических иллюстрациях.

Определение.

Вектор – это направленный отрезок прямой.

То есть, в качестве вектора мы принимаем отрезок на плоскости или в пространстве, считая одну из его граничных точек началом, другую – концом.

Для обозначения векторов будем использовать строчные латинские буквы со стрелочкой над ними, например . Если заданы граничные точки начала и конца отрезка, к примеру А и В , то вектор будем обозначать как .

Определение.

Нулевой вектор – это любая точка плоскости или пространства.

Векторы в пространстве примеры решения. II.6. Векторы в пространстве и действия над ними. §2.Линейные операции над векторами

Определение.

Длина вектора - это неотрицательное число, равное длине отрезка АВ .

Длину вектора будем обозначать как .

Так как обозначение длины вектора в точности совпадает со знаком модуля, то можно услышать, что длину вектора называют модулем вектора. Все же рекомендуем использовать термин "длина вектора". Длина нулевого вектора равна нулю.

Определение.

Два вектора называют коллинеарными , если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Определение.

Два вектора называют неколлинеарными , если они не лежат на одной прямой или параллельных прямых.

Нулевой вектор коллинеарен любому другому вектору.

Определение.

сонаправленными , если их направления совпадают и обозначают .

Определение.

Два коллинеарных вектора и называют противоположно направленными , если их направления противоположны и обозначают .

Определение.

Два вектора называются равными , если они сонаправленные и их длины равны.

Определение.

Два вектора называются противоположными , если они противоположно направлены и их длины равны.

Понятие равных векторов дает нам возможность рассматривать векторы без привязки к конкретным точкам. Другими словами, мы имеем возможность заменить вектор равным ему вектором, отложенным от любой точки.

Пусть и два произвольных вектора на плоскости или в пространстве. Отложим от некоторой точки O плоскости или пространства векторы и . Лучи OA и OB образуют угол .

Определение 1. Вектором в пространстве называется направленный отрезок.

Таким образом, векторы в отличие от скалярных величин имеют две характеристики: длину и направление. Будем обозначать векторы символами , илиа .

(Здесь А иВ – начало и конец данного вектора(рис.1))а В

Длина вектора обозначается символом модуля: .А рис.1

Различают три вида векторов, задаваемых отношением равенства между ними:

Закрепленные векторы называются равными, если у них совпадают начала и концы соответственно. Примером такого вектора является вектор силы.

Скользящие векторы называются равными, если они расположены на одной прямой, имеют одинаковые длины и направления. Примером таких векторов является вектор скорости.

Свободные или геометрические векторы считаются равными, если они могут быть совмещены с помощью параллельного переноса.

В курсе аналитической геометрии рассматриваются только свободные векторы.

Определение 2. Вектор, длина которого равна нулю, называетсянулевым вектором, илиноль –

вектором .

Очевидно, начало и конец нулевого вектора совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления или имеет любое направление.

Определение 3. Два вектора, лежащих на одной прямой или параллельных прямых называются

коллинеарными (рис.2). Обозначают:
.a

Определение 4. Два коллинеарных и одинаково направленных вектора называются

сонаправленными. Обозначают:
.

Теперь можно дать строгое определение равенства свободных векторов:

Определение 5. Два свободных вектора называются равными, если они сонаправлены и имеют

одинаковую длину.

Определение 6. Три вектора, лежащих в одной или параллельных плоскостях называются

компланарными .

Два перпендикулярных вектора называют взаимно ортогональными :
.

Определение 7. Вектор единичной длины называетсяединичным вектором илиортом.

Орт, сонаправленный ненулевому вектору а называютортом вектора а :e a .

§2.Линейные операции над векторами.

На множестве векторов определены линейные операции: сложение векторов и умножение вектора на число.

I. Сложение векторов.

Суммой 2 – х векторов называется вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец с концом второго, при условии, что начало второго совпадает с концом первого.

Легко видеть, что сумма двух векторов, определенная

таким образом (рис.3а), совпадает с суммой векторов,

построенной по правилу параллелограмма (рис.6). b

Однако, данное правило позволяет строить a

сумму любого числа векторов (рис.3б).

a + b

b a + b + c

рис.3б c

Определение

Скалярная величина - величина, которая может быть охарактеризована числом. Например, длина, площадь , масса, температура и т.д.

Вектором называется направленный отрезок $\overline{A B}$; точка $A$ - начало, точка $B$ - конец вектора (рис. 1).

Вектор обозначается либо двумя большими буквами - своим началом и концом: $\overline{A B}$ либо одной малой буквой: $\overline{a}$.

Определение

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым . Чаще всего нулевой вектор обозначается как $\overline{0}$.

Векторы называются коллинеарными , если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых (рис. 2).

Определение

Два коллинеарных вектора $\overline{a}$ и $\overline{b}$ называются сонаправленными , если их направления совпадают: $\overline{a} \uparrow \uparrow \overline{b}$ (рис. 3, а). Два коллинеарных вектора $\overline{a}$ и $\overline{b}$ называются противоположно направленными , если их направления противоположны: $\overline{a} \uparrow \downarrow \overline{b}$ (рис. 3, б).

Определение

Векторы называются компланарными , если они параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости (рис. 4).

Два вектора всегда компланарны.

Определение

Длиной (модулем) вектора $\overline{A B}$ называется расстояние между его началом и концом: $|\overline{A B}|$

Подробная теория про длину вектора по ссылке .

Длина нулевого вектора равна нулю.

Определение

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом .

Векторы называются равными , если они лежат на одной или параллельных прямых; их направления совпадают и длины равны.

ВЕКТОРЫ . ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ. СКАЛЯРНОЕ,

ВЕКТОРНОЕ, СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

1. ВЕКТОРЫ, ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ.

Основные определения.

Определение 1. Величина, полностью характеризуемая своим числовым значением в выбранной системе единиц, называется скалярной или скаляром .

(Масса тела, объем, время и т.д.)

Определение 2. Величина, характеризуемая числовым значением и направлением, называется векторной или вектором .

(Перемещение, сила, скорость и т.д.)

Обозначения: , или , .

Геометрический вектор – это направленный отрезок.

Для вектора – точка А – начало, точка В – конец вектора.

Определение 3. Модуль вектора – это длина отрезка AB.

Определение 4. Вектор, модуль которого равен нулю, называется нулевым , обозначается .

Определение 5. Векторы, расположенные на параллельных прямых или на одной прямой называются коллинеарными . Если два коллинеарных вектора имеют одинаковое направление, то они называются сонаправленными .

Определение 6. Два вектора считаются равными , если они сонаправлены и равны по модулю.

Действия над векторами.

1) Сложение векторов.

Опр. 6. Суммой двух векторов и является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, исходящая из общей точки их приложения (правило параллелограмма) .

Рис.1.

Опр. 7. Суммойтрех векторов , , называется диагональ параллелепипеда, построенного на этих векторах (правило параллелепипеда).

Опр. 8. Если А , В , С – произвольные точки, то + = (правило треугольника) .

рис.2

Свойства сложения.

1 о . + = + (переместительный закон).

2 о . + ( + ) = ( + ) + = ( + ) + (сочетательный закон).

3 о . + (– ) + .

2) Вычитание векторов.

Опр. 9. Подразностью векторов и понимают вектор = – такой, что + = .

В параллелограмме – это другая диагональ СД (см.рис.1).

3) Умножение вектора на число.

Опр. 10. Произведением вектора на скаляр k называется вектор

= k = k ,

имеющий длину ka , и направление, которого:

1. совпадает с направлением вектора , если k > 0;

2. противоположно направлению вектора , если k < 0;

3. произвольно, если k = 0.

Свойства умножения вектора на число.

1 о . (k + l ) = k + l .

k ( + ) = k + k .

2 o . k (l ) = (kl ) .

3 o . 1  = , (–1)  = – , 0  = .

Свойства векторов.

Опр. 11. Два вектора и называются коллинеарными , если они расположены на параллельных прямых или на одной прямой.

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Теорема 1. Два ненулевых вектора и коллинеарны,  когда они пропорциональны т.е.

= k , k – скаляр.

Опр. 12. Три вектора , , называются компланарными , если они параллельны некоторой плоскости или лежат в ней.

Теорема 2. Три ненулевых вектора , , компланарны,  когда один из них является линейной комбинацией двух других, т.е.

= k + l , k , l – скаляры.

Проекция вектора на ось.

Теорема 3. Проекция вектора на ось (направленная прямая) l равна произведению длины вектора на косинус угла между направлением вектора и направлением оси, т.е. = a  c os  ,  = ( , l ).

2. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

Опр. 13. Проекции вектора на координатные оси Ох , Оу , Оz называются координатами вектора. Обозначение: a x , a y , a z .

Длина вектора:

Пример: Вычислить длину вектора .

Решение:

Расстояние между точками и вычисляется по формуле: .

Пример: Найти расстояние между точками М (2,3,-1) и К (4,5,2).

Действия над векторами в координатной форме.

Даны векторы =a x , a y , a z  и =b x , b y , b z .

1. (  )=a x  b x , a y  b y , a z  b z .

2.  =  a x ,  a y ,  a z , где  – скаляр.

Скалярное произведение векторов.

Определение: Под скалярным произведением двух векторов и

понимается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е. = , - угол между векторами и .

Свойства скалярного произведения :

1.  =

2. ( + ) =

5. , где – скаляры.

6. два вектора перпендикулярны (ортогональны), если .

7. тогда и только тогда, когда .

Скалярное произведение в координатной форме имеет вид: , где и .

Пример: Найти скалярное произведение векторов и

Решение:

Векторное проведение векторов.

Определение : Под векторным произведением двух векторов и понимается вектор, для которого:

Модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т.е. , где угол между векторами и

Этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам, т.е.

Если векторы неколлинеарны, то они образуют правую тройку векторов.

Свойства векторного произведения :

1.При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т.е.

2 .Векторный квадрат равен нуль-вектору, т.е.

3 .Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е.

4 .Для любых трех векторов справедливо равенство

5 .Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов и :

Векторное произведение в координатной форме.

Если известны координаты векторов и , то их векторное произведение находится по формуле:

Тогда из определения векторного произведения следует, что площадь параллелограмма, построенного на векторах и , вычисляется по формуле:

Пример: Вычислить площадь треугольника с вершинами (1;-1;2), (5;-6;2), (1;3;-1).

Решение: .

Тогда площадь треугольника АВС будет вычисляться следующим образом:

Смешанное произведение векторов.

Определение: Смешанным (векторно-скалярным) произведением векторов называется число, определяемое по формуле: .

Свойства смешанного произведения:

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т.е. .

2. При перестановке двух соседних сомножителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный, т.е. .

3 .Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов : =0.

4 .Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс, если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком минус, если они образуют левую тройку, т.е. .

Если известны координаты векторов , то смешанное произведение находится по формуле:

Пример: Вычислить смешанное произведение векторов .

Решение:

3. Базис системы векторов.

Определение. Под системой векторов понимают несколько векторов, принадлежащих одному и тому же пространствуR .

Замечание. Если система состоит из конечного числа векторов, то их обозначают одной и той же буквой с разными индексами.

Пример.

Определение. Любой вектор вида = называется линейной комбинацией векторов . Числа - коэффициентами линейной комбинации.

Пример. .

Определение . Если вектор является линейной комбинацией векторов , то говорят, что вектор линейно выражается через векторы .

Определение. Система векторов называется линейно-независимой , если ни один вектор системы не может быть как линейная комбинация остальных векторов. В противном случае систему называют линейно-зависимой.

Пример . Система векторов линейно-зависима, т. к. вектор .